高等数学#

函数极限连续#

周期函数的导函数是周期函数，反之不一定。

有界性判断定义3：导函数在有限区间有界—>函数有界

无穷大×无穷大=无穷大无界×无界≠无界

p16 重要极限x^n 和 e^nx

==泰勒公式p18==

根式除以-x p24

==数列的极限==
1.对数列求极限不能用洛必达法则，必须改成函数极限
2.递推关系数列xn+1=f(xn)常用方法：①单调有界，等式两端取极限 ②先斩后奏，令极限为A，两端取极限解出来，再证明极限是A，方法:n->∞，|xn-A|＜缩放因子*|xn-1 - A|=…=0
3.判断单调性：①若f(x)在I上单增，则数列{Xn}单调，当x1≤X2时，{Xn}单增，当x1≥X2时，{Xn}单减。②f(x)单减->{Xn}不单调

均值不等式乘积开根号≤均值≤平方的均值开根号

一元函数微分学#

①f(x) n阶可导–>洛必达最多洛到n-1阶
②f(x)n阶连续可导/有n阶连续导数–>可以洛到n阶

==cot导数-csc^2 csc导数-csccot==

arcsin,arccos,==arccot导数==

arctanx+arctan(1/x) = Π/2

p57

==微分中值定理大题专题== ⭐构造辅助函数法p83

极值和拐点的第三充分条件p68 p69

⭐罗尔定理推论：若在区间I上f(x)的n阶导数≠0，则方程f(x)=0在I上最多有n个实根

一元函数积分学#

不定积分

万能代换

定积分可积性

点火公式
区间再现
三角函数积分一般方法
但此题用上面区间再现的公式做更快
e的x次方用区间再现

==变上限积分函数==

积分不等式

==柯西积分不等式==
乘积积分的平方不超过平方积分的乘积
提到单调性，改用变上限积分用函数的思想证明积分不等式

反常积分

1.收敛+收敛才收敛，其中一个发散则发散
2.p积分
3.

例子：

定积分的几何应用
旋转体体积：
、
旋转体侧面积：
物理应用p32：
1.变力做功 2.液体压力 3.引力

常微分方程#

伯努利方程欧拉方程p141 欧拉方程的另一种解法p169

多元函数微分学#

全微分p155 用定义判断可微

绝对值不等式：||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

无穷级数#

如果说明绝对值发散时使用了比值或根值判别，那么可以立即得出原级数发散

绝对收敛±条件收敛=条件收敛

绝对收敛±绝对收敛=绝对收敛

条件收敛±条件收敛=条件收敛或绝对收敛

==求收敛域—>an加绝对值用比值或根值，取倒数==，如果缺项，则用un

级数求导收敛域可能变小，积分可能变大

==幂级数展开P214== p220

==傅里叶级数p224==

向量代数#

求a,b为临边的平行四边形面积：S=|a × b|

判定两向量平行：a × b = 0

混合积：（abc）=(a×b)·c 代数表示为行列式

V平行六面体 = |（abc）|

判定三向量共面：（abc）=0

==点到直线距离P233==

==平面束方程== 正常设，然后检验括号里的方程

==两直线距离公式== p236 |s1s2AB|/|s1×s2|

==常见二次曲面== p237 单叶双曲面，双叶双曲面

==建立旋转面方程步骤== p239

==方向导数和梯度== p242 方向导数是一个数（梯度×方向余弦向量）梯度是一个向量

多元函数积分学#

==柱坐标和球坐标== p247

==先一后二先二后一==

==合一投影法==

==格林公式斯托克斯公式高斯公式== 空间线积分化投影线积分用格林 p262

==梯度散度旋度== p272 梯度是向量散度是数量PQR偏导之和旋度是向量（行列式i j k 偏x 偏y 偏z P Q R）

偶零奇倍（二型面积分dxdy）区分向一个面投影S区域变为D区域

补充：#

心型线，双扭线方程

线性代数#

行列式#

克拉默法则 ：
非齐次线性方程组系数行列数不为0，方程组有唯一解
推论：1.齐次方程组系数行列式不为0，方程组只有0解
2.齐次方程组有非零解，则系数行列式为0

数学归纳法
型式1：验证n=1成立，假设n=k成立，证明n=k+1成立；
型式2：验证n=1,n=2成立，假设n<k成立，证明n=k成立

矩阵#

重要公式

分块求逆

二阶伴随：主对调负变号

A：m×n B×s
==AB=C专题==
如果A列满秩(r(A)=n),则r(AB)=r(B)
AB的行向量可由B的行向量线性表出 AB的列向量可由A的列向量线性表出
==**AB=0专题 **==
（1）B的每一个列向量都是齐次方程Ax=0的解
（2）r(A) + r(B) ≤ n（A的列数，B的行数）

特殊矩阵

==正交矩阵==
1.A的转置=A的逆矩阵，即ATA=AAT=E
2.==|A|^2 = 1==
3.A,B n阶正交，则AB正交
性质：1.正交矩阵的每个列向量都是单位向量
2.任意两个列向量垂直
3.==正交矩阵一定可逆，|A|不是1就是-1==

==秩1矩阵==
αTβ是矩阵αβT的主对角线元素之和
ααT对称，αTα平方和
总结：A^n = L^(n-1)*A L是矩阵的迹
==秩1矩阵，且迹不为0，则可以相似对角化==

向量#

⭐施密特正交化

线性相关线性无关定理 p67 p68

秩的关系
==r(A+B) ≤ r(A,B) ≤ r(A) + r(B)==
r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}

同解和公共解
公共解：α既是（I）的解，也是（ I）的解，则是公共解
解法：①（I)(II)联立求解 ②求各自基础解系，令相等 ③（I)的通解带入（II）寻找k1,k2关系式
同解：如果α是（I）的解，则必是（II）的解，反过来，如果α是（II）的解，则必是（I）的解
ABx=0与Bx=0同解
同解方程组
==矩阵方程AX=0与BX=0同解的充分必要条是A,B的行向量组等价，即R(A)=R(B)=R(A/B)==
==A,B列向量组等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A，B)==
向量组A=【a1，a2，a3，……】和向量组B=【b1，b2，b3，……】等价的充要条件是rA=rB=r（A，B）。同型矩阵A，B等价的充要条件是rA=rB

特征值与特征向量#

对角化
充要条件：①A有n个线性无关特征向量 ②如果λ是k重特征值，那么λ必有k个线性无关特征向量 ③r(λiE - A) = n- ni，λi为ni重特征值
充分条件：A有n个不同的特征值，A是实对称矩阵，则一定可以相似对角化
充分条件：==秩1矩阵，且迹不为0，则可以相似对角化==

实对称矩阵
①必相似对角阵
②可用正交矩阵对角化
③不同特征值的特征向量相互正交
④特征值必是实数
⑤k重特征值必有k个线性无关的特征向量

二次型#

反对称矩阵对角线元素一定为0

正定
潜台词:一定是对称矩阵
正定一定可逆，因为特征值全＞0
充要条件：①特征值全＞0 ②正惯性指数p=n ③顺序主子式全＞0 ④A=CT E C,c可逆
必要条件：aii＞0 |A|＞0

矩阵相似等价合同#

矩阵等价：Ps…P3P2P1 A Q1Q2…Qt = B => PAQ = B => r(A) = r(B) A经初等变换得到B
同型矩阵等价充要条件：r(A) = r(B)
向量组等价：==A,B列向量组等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A，B)==
向量组A=【a1，a2，a3，……】和向量组B=【b1，b2，b3，……】等价的充要条件是rA=rB=r（A，B）。同型矩阵A，B等价的充要条件是rA=rB
相似= B
必要条件迹相等，秩相等，行列式相等，|λE-A|=|λE-B|
==判实对称矩阵相似充要条件==：看特征值是否一样
合同：存在可逆矩阵C，使CTAC=B，充要条件是正负惯性指数相同
==相似一定等价，但等价不一定相似==
==实对称矩阵相似一定合同== 实对称矩阵看特征值正负